Vì BM là đường phân giác của góc B nên ta có:

Vì BN là đường phân giác của góc ngoài đỉnh B nên ta có: BM ⊥ BN

Suy ra tam giác BMN vuông tại B

Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu hai cạnh góc vuông, ta có: A B 2  = AM.AN

Suy ra: AN =  = 12 (cm)

Áp dụng định lý Pitago cho ABH vuông tại A có:

Vì BM là tia phân giác trong của góc B ⇒ M A M C = A B B C  (Tính chất đường phân giác)

⇒ M A M C + M A = A B B C + A B ⇒ M A A C = A B B C + A B ⇒ M A 8 = 6 10 + 6 ⇒ MA = 3cm

Vì BM; BN là tia phân giác trong và ngoài của góc B ⇒ N B M ^ = 90 0

Áp dụng hệ thức lượng trong ABM vuông tại B có đường cao BA ta có:

Đáp án cần chọn là: D

Vì BM là đường phân giác của góc B nên ta có :

\(\frac{MA}{MC}=\frac{AB}{BC}\Rightarrow\frac{MA}{MA+MC}=\frac{AB}{AB+AC}\)

\(\Rightarrow MA=\frac{AB.\left(MA+MC\right)}{AB+BC}=\frac{6.8}{6+10}=\frac{48}{16}=3\left(cm\right)\)

Vì BN là đường phân giác của góc ngoài đỉnh B nên ta có: \(BM\perp BN\)

Suy ra tam giác BMN vuông tại B

Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu hai cạnh góc vuông, ta có: AB² = AM . AN

Suy ra: \(AN=\frac{AB^2}{AM}=\frac{6^2}{3}=\frac{36}{3}=12\left(cm\right)\)

Tính được mỗi AM , AN nên thông cảm 😅

Vì BM là đường p/g của \(\widehat{B}\)nên ta có:

\(\Rightarrow\)\(\frac{MA}{MC}=\frac{AB}{BC}\)\(\Rightarrow\frac{MA}{MC+MA}=\frac{AB}{BC+AB}\)(t/c TLT)

\(\Rightarrow MA=\frac{AB\left(MA+MC\right)}{AB+AC}\) \(\Rightarrow MA=\frac{AB.AC}{AB+BC}=\frac{6.8}{^{6+10}}=3\)

Vì \(2\widehat{ABN}+2\widehat{ABM}=180\)\(\Rightarrow2\left(\widehat{ABN}+\widehat{ABM}\right)=180\)

\(\Rightarrow\widehat{ABN}+\widehat{ABM}=90\)\(\Rightarrow\)\(\widehat{NBM}=90\)

Xét tam giác BNM có \(\widehat{NBM}=90\)(cmt)

Áp dụng hệ thức lượng ta có:

\(AB^2=AM.AN\)

\(\Rightarrow AN=12\)